障害者手帳を持っていなくても請求できますか？

「障害年金」と「障害者手帳」制度は異なる制度ですので、手帳がなくても請求できます。また、認定基準も異なりますので、手帳の等級と障害年金の等級は必ずしも一致しません。

働いていたり、収入があると受給できないのでは？

障害年金は就労や収入の有無ではなく、障害の状態がどれほど生活に支障をきたしているかで判断されます。

自分で請求手続きしたいのですが、誰でも請求できますか？

もちろんご自身でも請求可能です。病院や役所に足を運んだり、書類を作ることが手間だと感じる方は、専門家に依頼することもできます。